一
⊙Ax²+(y-1) ²=1，P为x轴一点，Q是y轴一点，且PQ与⊙A相切，当PQ最短时，求OQ的长。
设P(p，0）、Q(0，q)，(p>1，q>2)。
⊙A：x²+(y-1)²=1与PQ切于M，tanα=kAM。QA=AM/sinAQM=1/sinαOQ=OA+AQ=1+1/sinα。
PQ=OQ/cosOQP=(1+1/sinα)/cosα=2(sinα+1)/(2sinαcosα)=2(sinα+1)/sin(2α)。
设0=(PQ/2)′=[(sinα+1)/sin(2α)]′=[cosαsin(2α)-(sinα+1)cos(2α)×2]/sin²(2α)，
0= cosαsin(2α)-sinαcos(2α) –(sinα+2)cos(2α)=sinα–(sinα+2)(1-2sin²α)=2(sin³α+2sin²α-1)
=2(sinα+1)(sin²α+sinα-1)，sin²α+sinα-1=0，
sinα=(-1-√5)/2(舍去)，sinα=(√5-1)/2。OQ=1+1/sinα=1+1/[(√5-1)/2]= 1+(√5+1)/2=(3+√5)/2。
二
⊙C：x²+y²=a²b²/(a²+b²)的切线交椭圆E：x²/a²+y²/b²=1于A、B两点。求证：OA⊥OB。
设⊙C：x²+y²=a²b²/(a²+b²)的切线方程为cosαx+sinαy=ab/√(a²+b²)(a>b>0，0≤α<2π)。
b²(1-x²/a²)=y²={[ab/√(a²+b²)-cosαx]/sinα}²，
(a²+b²)(a²cos²α+b²sin²α)x²-2a³b√(a²+b²)cosαx+a²b²[a²-(a²+b²)²sin²α]=0，
xA·xB=a²b²[a²-(a²+b²)sin²α]/[(a²+b²)(a²cos²α+b²sin²α)]。
a²(1-y²/b²)=x²={[ab/√(a²+b²)-sinαy]/cosα}²，
(a²+b²)(a²cos²α+b²sin²α)y²-2ab³√(a²+b²)sinαy+a²b²[b²-(a²+b²)cos²α]=0，
yA·yB=a²b²[b²-(a²+b²)cos²α]/[(a²+b²)(a²cos²α+b²sin²α)]。
OA×OB=(xA，yA)(xB，yB)=xA·xB+yA·yB
=a²b²[a²-(a²+b²)sin²α]/[(a²+b²)(a²cos²α+b²sin²α)+a²b²[b²-(a²+b²)cos²α]/[(a²+b²)(a²cos²α+b²sin²α)]
=0，∴OA⊥OB。
三
过椭圆x²/a²+y²/b²=1外一动点P(x0，y0)的两条切线互相垂直，求动点P的轨迹方程。
设过动点P的切线方程y=k(x-x0)+y0。
1=x²/a²+y²/b²=x²/a²+[k(x-x0)+y0]²/b²，(a²k²+b²)x²+2a²k(y0-kx0)x+a²[(y0-kx0)²-b²]=0，
0=Δ=[2a²k(y0-kx0)]²-4(a²k²+b²)a²[(y0-kx0)²-b²]，(x0²-a²)k²-(2x0×y0)k+(y0²-b²)=0。
-1=k1×k2=(y0²-b²)/(x0²-a²)，动点P的轨迹方程x0²+y0²=a²+b²。